La question non résolue de Christian Goldbach

Mais la vérité est la suivante: peu importe le nombre de nombres pairs que nous prenons, il peut être exprimé par la somme de deux nombres premiers. Par exemple: 24 = 13 + 11. Ou 100 = 83 + 17. Ou 7112 = 5119 + 1993. Vous pouvez prendre un nombre arbitrairement grand, et l'hypothèse sera vraie. Le problème est précisément de trouver une preuve mathématique générale de la déclaration de Goldbach. Un nombre premier est un nombre divisible par 1 et par lui-même. Donc, 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers, mais 4, 6, 9 ne le sont pas. Plus le nombre pair est grand, plus il y a de façons de le présenter comme deux simples:

Le problème de Goldbach lui-même est conditionnellement divisé en deux déclarations. Le premier, directement exprimé par Christian Golbach, est appelé un «problème faible», et la clarification d’Euler est appelée un «problème majeur». À partir de la validité de la déclaration d’un problème fort de Goldbach, une justice faible s’ensuit automatiquement. Le problème de Goldbach est principalement abordé «sur le front». C'est-à-dire qu'il est vérifié systématiquement pour chaque nombre premier subséquent. Ainsi, à ce jour, tous les nombres pairs allant jusqu'à 3 * 1018 sont vérifiés et la vérification se poursuit. Mais cette méthode a un inconvénient important. De cette façon, une hypothèse peut être réfutée si elle est fausse. Mais le théorème ne peut pas être prouvé de cette manière, car il ne peut pas être garanti que le nombre que le programme pourrait vérifier à l'étape suivante ne sera pas la première exception à la règle.

Pendant longtemps, il n’a pas été possible de trouver le moindre moyen d’étudier le problème de Goldbach. Ce n’est qu’en 1923 que les mathématiciens anglais Gottfrey Hardy et John Littlewood ont réussi à prouver que si certains théorèmes (non encore vérifiés) concernant la série L de Dirichlet sont vrais, tout nombre impair suffisamment grand est la somme de trois nombres premiers. Hardy:

En 1930, le mathématicien Lev Schnirelman a publié une preuve du théorème selon lequel un entier supérieur à un est la somme d'un nombre limité de nombres premiers, et ce nombre ne dépasse pas 300 000. Il s'agissait d'un pas en avant sérieux. Mais un nombre limité n'est pas le nombre 2 indiqué dans l'hypothèse: la preuve de Schnirelman n'était donc qu'une solution particulière au problème. Il n'a été publié qu'en 1939, un an après la mort tragique d'un mathématicien (il s'est suicidé). Néanmoins, le résultat de Schnirelman a été spécifié à plusieurs reprises; Le dernier raffinement a été apporté en 1995 par le mathématicien français Ramaret: il a montré que tout nombre pair est la somme de 6 nombres premiers au maximum. Schnirelman:

En 1937, le mathématicien soviétique Ivan Vinogradov fit le plus important pas en avant dans la résolution du problème de Goldbach. Il a prouvé que tout nombre impair suffisamment grand est représenté par la somme de trois nombres premiers, c'est-à-dire qu'il a résolu le problème de Goldbach pour les nombres impairs. Certes, “un nombre suffisamment important” dans la formulation de Vinogradov est 3, 33 * 1043000, ce qui n’est pratiquement pas applicable en mathématiques appliquées. En outre, il a présenté la preuve d'un cas particulier de la conjecture de Goldbach pour certains groupes de nombres pairs bornés, et a également montré qu'il existe un nombre fini tel que tout nombre pair peut être représenté par une somme ne dépassant pas n sommands simples. En 1975, ses preuves ont été développées par Hugo Montgomery et Robert Vaughan. Ils ont montré qu'il existe des constantes positives c et C, telles que le nombre de nombres pairs, non supérieur à N, qui ne peut être représenté par la somme de deux nombres premiers, ne dépasse pas CN1-C. Vinogradov:

Le mathématicien chinois Chen Jingzhun a franchi une étape importante pour prouver le problème de Goldbach. Il a prouvé que tout nombre pair suffisamment grand peut être représenté soit par la somme de deux nombres premiers, soit par la somme d'un nombre premier et d'un demi-simple (c'est-à-dire ne comporter que 2 diviseurs, sans compter 1 et lui-même). En 1997, la faiblesse du problème de Goldbach s’avérait vraie pour un autre cas particulier: les chiffres supérieurs à 1020.

Enfin, en 2013, le mathématicien péruvien Harald Andres Helfgott a finalement prouvé que le problème de Goldbach était faible (ou autrement appelé ternaire). C'est-à-dire que l'affirmation «Chaque nombre impair supérieur à 5 peut être représenté par la somme de trois nombres premiers» est vraie. Le fort problème de Goldbach reste un mur de pierre pour les chercheurs.

Sur Internet, vous pouvez trouver beaucoup de «preuves» de la forte hypothèse de Goldbach. Mais généralement, ces preuves comportent des erreurs ou ne constituent en aucun cas des preuves. Il est probable que cette hypothèse n’est tout simplement pas démontrable et que le schéma observé est une combinaison complexe de coïncidences mathématiques. Cette affirmation est liée notamment au fait que la "loi des nombres premiers" n'existe pas non plus. La découverte de chaque nouveau nombre premier a lieu exclusivement par la méthode du "dénombrement", et récemment, en raison des énormes "distances" numériques entre chaque nouveau nombre premier et celui qui le suit, de telles découvertes se produisent extrêmement rarement et constituent des avancées mathématiques significatives. D'autre part, plusieurs nombres pairs peuvent être représentés en utilisant plusieurs paires de nombres premiers, c'est-à-dire qu'il existe plusieurs combinaisons. Si vous construisez un graphique de la dépendance du nombre de combinaisons de paires de nombres premiers sur l’augmentation de nombres pairs pairs, il s’avère qu’avec une augmentation du nombre pair, on a tendance à augmenter le nombre de paires de nombres premiers donnant au total ce nombre, et cette augmentation se produit conformément à une certaine loi. Ce fait ne permet pas aux mathématiciens de cesser de chercher des preuves.

Et Euler regarde sournoisement d'une vieille photo:

De manière caractéristique, Goldbach n'était pas le luminaire de la science mathématique de son temps. Il est né en 1690 et est diplômé du département de droit de l'université de Koenigsberg: les mathématiques n'étaient que son passe-temps. En 1725, Goldbach se rendit en Russie où il reçut le titre d'académicien de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Depuis 1742, il travailla au Collège des affaires étrangères. Il eut une correspondance amicale avec Euler pendant 35 ans, jusqu'à sa mort en 1764 à Moscou. En 1843, 177 lettres de cette correspondance ont été publiées. Il a beaucoup voyagé et était ami avec de nombreux mathématiciens célèbres, y compris la famille Bernoulli. Au cours de sa vie, il a publié moins d'une douzaine d'ouvrages mathématiques de taille moyenne, bien que deux d'entre eux - sur des séries sans fin - l'aient rendu célèbre dans la communauté scientifique. Cependant, dans de larges cercles, Christian Goldbach est devenu célèbre grâce à plusieurs phrases d'une seule lettre à son ami. Tels sont les jeux du destin.

Théorème de Fermat

Il est à noter que les énoncés mathématiques les plus simples sont souvent extrêmement difficiles à prouver. Par exemple, le grand théorème de Fermat (ou, comme on l’appelle, «le dernier») n’a été prouvé que plusieurs centaines d’années après sa formulation. Le théorème dit que l'équation an + bn = cn pour tout entier positif n> 2 n'a pas d'entiers positifs a, b et c. Le théorème a été formulé en 1637 et, selon la légende, écrit en marge de "l'Arithmétique" de Diophantus. Il est fort probable que Fermat n’a aucune preuve du tout, étant donné qu’il ne l’a jamais publié au cours des 30 prochaines années de sa vie. Des cas spéciaux pour n = 3, 5, 7 et quelques groupes limités de nombres ont été publiés par Dirichlet, Lame, Kummer et d’autres mathématiciens à des années différentes, mais le théorème de Fermat n’a finalement été prouvé qu’en 1995 par le mathématicien anglo-américain Sir Andrew John Wiles. Il travaille sur la preuve depuis 1986, et il a fallu plus de 130 pages.

La correspondance complète de Goldbach et Euler peut être téléchargée et lue ici.

Tim Skorenko, nostradamvs.livejournal.com

Recommandé

Statistiques et phoques: comment les chats chauds sont devenus partie intégrante d'un livre scientifique
2019
6 signes de mort imminente: maladie cardiaque
2019
Une centrale nucléaire flottante prête à fonctionner
2019